数学

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数学

1、外积（差乘）

定义：向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右手系。
特别地，0×a = a×0 = 0.此外，对任意向量a，a×a=0

P=(x1,y1)    Q=(x2,y2)

PxQ = x1y2-x2y1

例子：a=(1,2,0)  b=(3,40) i=(1,0,0) j=(0,1,0) k=(0,0,1)

axb = =(2*0-0*4)i-(1*0-0*3)j+(1*4-2*3)k=(0,0,-2)

几何意义：

在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

若P×Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向；

若P×Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向；

若P×Q = 0 , P与Q共线，可能是同向也可能是反向；

性质：

a × b = -b × a. （反称性）

(λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （线性）

2、内积（点乘）

定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

几何意义：

a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间
a∙b=0→ 正交，相互垂直
a∙b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

性质：

1. a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）
2. a·b = b·a. （对称性）
3. (λa + μb)·c = λa·c + μb·c，对任意实数λ, μ成立. （线性）
4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
5. |a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成立

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